Gaz Moleküllerinin Öteleme Hareketinin Termal Enerjisi

06.01.2010 - 17:01

Bir mol gaz molekülünün öteleme enerjisinin (3/2)RT olarak ortaya çıkması şaşırıtıcı değildir. Bunu partisyon fonksiyonu eşitliklerine bağlı olarak gösterebiliriz.
Bir parçacığın öteleme hallerine ilişkin enerji m parçacığın kütlesi ve a küp şeklindeki kabın bir cidarının uzunluğu olmak üzere;
e = ex + ey + ez = (nx2 + ny2 + nz2)h2/(8ma2)
nx = 1,2,3,...
ny = 1,2,3,...
nz = 1,2,3,...
eşitliği ile verilebilir.

Bu enerjiye sahip parçacıkların partisyon fonksiyonu ise;
qöteleme = e-(nx2 + ny2 + nz2)h2/8ma2kT
qöteleme =e-nx2h2/8ma2kTe-ny2h2/8ma2kTe-nz2h2/8ma2kT = qxqyqz

Bu toplamlar integralleri ile yer değiştirirse;
qx = qy = qz = e-nx2h2/8ma2kT dnx = (2pma2kT)1/2/h
Böylece

qöteleme = 2pma2kT/h23/2
a ile kabın hacmi V arasında, a = V1/3 değişimi yapılacak olursa eşitlik ;
qöteleme = 2pmkT/h23/2V
şeklinde düzenlenebilir.

Oda şartlarındaki azot için qöteleme değerini elde ederek öteleme partiyon fonksiyonunun büyüklüğü hakkında fikir edinelim. Bu şartlarda (25 oC ve 1 atm.) azot 24.5 L hacim işgal edeceğinden, V = 0.0245 m3 tür.
qöteleme = 0.350x1030
olarak elde edilir. Bu iç boyuttaki partisyon fonksiyonundan tek boyuttaki katkılara geçilebilir.
qx = qy = qz =0.705x1010
olarak elde edilir. Bu q değerleri gaz moleküllerinin mevcut hallerinin sayısının bir ölçüsü olarak yorumlanır. Parçacık kütlesinin, kap hacminin ve sıcaklığın artması ile qötelemeöteleme ve türevinden hesaplanabilir. değeride artar. Kütle ve kap hacmine bağımlı kısım enerji seviyeleri arasındaki farkı etkiler. Sıcaklığa bağımlı olan kısım ise Boltzmann dağılımı eşitliğindeki kullanılabilir hallerin sayısı ile ilgilidir. Ortalama öteleme enerjisi q

dqöteleme/dT = (2pmk)3/2/h3V(3/2T1/2)
böylece
(U - Uo)öteleme = (RT2/q)(dq/dT)

(U - Uo)öteleme = RT2h3/(2pmkT)3/2V (2pmk)3/2V/h3 (3/2)T1/2 = (3/2)RT

qöteleme parçacıkların kütlesine ve kabın hacmine bağımlı olmasına karşın, termal enerji (U - Uo)öteleme daima (3/2)RT değerine sahiptir. Diğer moleküler hareketler sonuçlar bu kadar basit değildir.

Linkback: https://www.buyuknet.com/gaz-molekullerinin-oteleme-hareketinin-termal-enerjisi-t20712.0.html

06.01.2010 - 17:01

Bu kısımda bir mol molekülün dönme enerjisini hesaplayacağız. İki dönme serbestlik enerjisine sahip doğrusal bir molekülün izin verilen enerjileri

edönme = J(J + 1)(h2/8p2I)

ve dejenarasyonlarlar

gJ = 2J + 1 J = 1,2,3,...
Böylece

qdönme = (2J + 1)e-J(J +1)h2/8p2IkT

Düşük sıcaklıkta olmayan pekçok molekül için J değerleri birden çok daha büyüktür. Bu durum için

qdönme 2Je-J2h2/8p2IkT

yazabiliriz. Ayrıca toplam sayının büyük bir kısmı için toplam integralle yer değiştirebilir.

qdönme 2Je-J2h2/8p2IkTdJ

İntegralin çözümü ile

qdönme = 8p2IkT/h2

Aynı atomları veya simetrik doğrusal molekülleri içeren diatomik moleküller için sonuça dikkate edilmelidir. Bir molekül diatomik veya doğrusal ise asetilen gibi, H-CC-H , homonükleer diatomik molekül ve doğrusal molekülse izin verilmiş hallerin sayısında daha fazla sınırlama vardır. Pekçok molekülün izin verilen halleri için dalga fonksiyonu özel bir simetriye sahiptir. Bu sınır N2, O2, H2 gibi diatomik moleküler için dönme hareketlerinin yarısı yasaklıdır.

Bu dönme hallerindeki azalma moleküller için simetri sayısı, s, ile gösterilir ve daha önce elde edilmiş olan dönme partisyon fonksiyonu eşitliğinin bu sayıyıda içerecek şekilde değiştirilmesi gerekir. HCl ve HCN gibi moleküller için simtri sayısı 1 değerine sahipken, N2, O2, H-CC-H, gibi moleküller için 2 dir.

qdönme = 8p2IkT/sh2

Örnek bir hesaplamayı 25 oC deki N2 için yapabiliriz. Atalet momenti I = 14.1x10-47 kg m22 için
qdönme (25 oC de N2)= 52.2
olarak hesaplanır. dir. Buna göre N

Gaz fazdaki doğrusal moleküllerin bir mollerinin dönme enerjisi qdönme eşitliği ve türevinden hasaplanabilir.

dqdönme/dT = 8p2Ik/sh2

Termal enerjiye katkı ise

(U - Uo)dönme = RT2(8p2Ik/sh2)/8p2IkT/sh2 = RT

olarak elde edilir.

Serbestlik derecesi başına termal enerji büyüklüğü (1/2)kT kadardır. Buradaki doğrusal molekülün 2 dönme serbestlik derecesi vardır.

Genel olarak molekülün şekli dik eksenler boyunca molekülün dönme bileşenleri hakkında bilgi verir. Üç eksen için atalet momentleri IA, IB, IC olarak gösterilir.
Genel olarak bir molekül için dönme partisyon fonksiyonu
qdönme = 8pkT/h23/2(pIAIBIC)1/2/s
İki serbestlik derecesine sahip olan moleküller için daha önce elde etmiş olduğumuz
qdönme = 8p2IkT/sh2

eşitliği kullanılır.

06.01.2010 - 17:02

Diatomik moleküllerin tek bir titreşim hareketi vardır. Poliatomik moleküllerin titreşim hareketlerinin sayısı ise, 3n - 6 veya 3n - 5 eşitliklerinden hesaplanabilir. Herbir titreşim hareketinin enerjisi ise;
etitreşim modu = (v + 1/2)(h/2p)(k/m)1/2 = (v + 1/2)hntitreşim v = 0, 1, 2, ...

Herhangi bir titreşim hareketi için
qtitreşim = e-[(v+1/2)hntitreşim - (1/2)hntitreşim]/kT = e-vhntitreşim/kT

qtitreşim = 1 + e-hntitreşim/kT + e-2hntitreşim/kT + ...

yazılabilir. x = hntitreşim/kT dönüşümü yapılırsa

qtitreşim = 1 + e-x + e-2x + ... = 1 + (e-x) + (e-x)2 + ...

Bu seri (1 - e-x)-1 binom açılımı olarak bilinir ve bu nedenle ;

qtitreşim = 1/(1 -e-x) = 1/(1 - e-hntitreşim/kT)

Titreşim halleri arasındaki tipik enerji boşluğu, hntitreşim, molekül başına 210-20 J dir. 25 oC de ;

x = hntitreşim/kT = (210-20 J)/[(1.3810-23 J K-1)(298 K)] = 5

q için örnek bir hesaplama yapabiliriz.

qtitreşim = 1/(1 -e-5) = 1.007

Bu gösterilen örnekte, titreşim enerji seviyeleri o kadar büyüktür ki, herhangi bir serbestlik titreşim derecesi tek titreşim hali kullanılabilir.

qtitreşim ın T ye ögre türevi alınırsa

dqtitreşim




(hntitreşim/kT2)e-hntitreşim/kT




(x/T)e-x



=




=


dT




(1 - e-hntitreşim/kT)2




(1 - e-x)2

Bir titreşim modunun termal enerjiye katkısı

U - Uo = (N/q)kT2(dq/dT)

eşitliğinden (U - Uo)titreşim modu = [RT2(x/T)e-x]/(1 - ex) = RTx/(ex - 1)

Alternatif olarak, x = hntitreşim/kT ve R=Nk dönüşümü yapılırsa;

(U - Uo)titreşim modu = [N(hntitreşim)]/(ehntitreşim/kT - 1)

Titreşim enerji seviyeleri farklarının fonksiyonu olarak T lerin çeşitli değerleri için çizilmiş (U - Uo)titreşim modu eğrileri yandaki grafikte gösterilmiştir.

Bu noktada hemen değinilmesi gereken bir konu x--> 0 iken, hntitreşim kT den çok küçük bir değere ulaşır. Bu bizi klasik eşitliğimize yaklaştırır.

ex 1 + x

ve

RT(x)/(ex - 1) RT(x)/(1 + xRT -1)

Bu sınırda ortalama kinetik enerji 1/2 RT dir ve bu harmonik bir osilatörü karakterize eden potansiyel enerjiye eşittir. Bu RT sonucunun ortaya çıkmasına neden olur. ...